变为 A?B? (见右图)
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  弹塑性力学2应变阐发_能源/化工_工程科技_专业材料。第二章 应变阐发 第一节 一点的应变形态 应变取位移的关系 第二节 应变形态阐发 第三节 从应变 第四节 应变张量和应变偏量 第五节 应变协调方程(持续性方程、相容方程) (Equations of

  第二章 应变阐发 第一节 一点的应变形态 应变取位移的关系 第二节 应变形态阐发 第三节 从应变 第四节 应变张量和应变偏量 第五节 应变协调方程(持续性方程、相容方程) (Equations of compatibility) 第二章 应变阐发 1 本章从几何学的概念出发阐发研究物体的变形。反映物体 变形纪律的数学方程也有两类,即几何方程和变形协调方程。 因为这两类方程都是基于物体持续性的假定从几何学出发获得 的,并不涉及发生变形的缘由和物体的材料性质,所以它们均 属于“普适方程”。 第二章 应变阐发 2 正在外力感化下,物体各点的要发生改变,即发生 位移。若是物体各点发生位移后仍连结各点间初始形态的相对 ,则物体现实上只发生了刚体挪动和动弹,将这种位移称 为刚体位移。 若是物体各点发 生位移后改变了各点 间初始形态的相对位 置,则物体就同时产 生了外形的变化,统 称该物体发生了变形. 第二章 应变阐发 3 第一节 一点的应变形态 应变取位移的关系 为了确定正应变的定 义,正在一受拉杆上段 AB,正在变形后,变为 A?B? (见左图)。银河贵宾厅! 若线段 AB 的长度 为 ?x,变形后的A点的 第二章 应变阐发 4 位移是u,而B 点的位移是 u+?u,则线段 ?x 添加了?u。 定义:正应变 ?x ? lim ?x?0 ?u ?x ? du dx (2-1) 明显,若是变形的分布是平均的,则有: ?x ? l ? l0 l0 ? ?l l0 即:材料力学的拉伸应变。 (2-2) 下面我们会商一般环境,给出应变的概念。设正在曲角坐标 系中,变形前A点的坐标是(x,y,z),变形后的坐标是 (x+u,y+v,z+w),这里u,v,w是A点的位移正在x,y,z三 轴上的投影,它们都是坐标x,y,z的持续函数,并且位移的 导数也是持续的。 第二章 应变阐发 5 设由变形体中取出一个细小六面体(见书中图2-3变形体的 投影),正在研究细小六面体的变形时,采用的阐发方式是将六 面体的各面投影到曲角坐标系的各个坐标平面上,研究这些平 面投影的变形,并按照这些投影的变形纪律来判断整个平行六 面体的变形。 因为变形很细小,所以能够 认为两个平行面正在坐标面上的投 影只相差高阶的微量,因此,两 个平行面的投影能够归并为一个 投影面。 第二章 应变阐发 6 起首,研究平行六面体 正在xoz面上的投影ABCD(见 书中图2-4)。正在变形前六 面体A点的坐标为(x,y, z),正在六面体变形时,投影 上的A点移到了 A?点,同时 B ? B?,C ? C?,D ? D?, 而整个ABCD移到 A?B?C?D?。 设A点的位移是 u,w,它们是坐标的函数,因而有: u ? f1(x, y, z) w ? f2 (x, y, z) 第二章 应变阐发 (2-3) 7 而B点的坐标为(x+dx,y,z),因而B点正在x标的目的的位移为: u1 ? f1(x ? dx, y, z) 按照泰勒级数展开式,可得: u1 ? f1(x, y, z) ? ?f1(x, y, z) dx ? ?x 1 ?2 2! f1(x, y, z) dx2 ?x 2 ?? 略去高阶项后获得: u1 ? u ? ?u ?x dx (2-4) 因为 AB ? dx 则AB正在x轴上的投影的伸长量为 u1 ?u ? ?u ?x dx, 则有: ?x ? u1 ? u dx ? ?u ?x 第二章 应变阐发 8 ? 同理可得平行于 y 轴和 z 的边长的正应变,因而有: ?x ? ?u ?x ?y ? ?v ?y ?z ? ?w ?z (2-5) 当 ? x,? y,? z 大于零时,暗示线段伸长,反之暗示缩短。 第二章 应变阐发 z C? C ? B?? w ? w ? ?w dx A? B? ?x A o u B x u ? ?u dx ?x 下面研究六面体的剪应变,即各曲角的改变。 取变形前的曲角BAC或 B??A?C??,变形时,棱边A?B?动弹 一个角度 ? ,棱边 A?C?动弹一个角度 ? ,正在xoz平面内,角 应变用? zx暗示,其值为 ? 和 ? 之和,即: ? zx ? ? ? ? (2-6) 若A点正在z 轴标的目的的位移为 w ? f2 (x, y, z) , 第二章 应变阐发 10 10 则B点正在Z 轴标的目的的位移为 w1 ? f2 (x ? dx, y, z) ? w? ?w dx, ?x B点取A点沿Z 轴标的目的的位移之差为: z C? C B??B? ? w1 ? w ? ?w ?x dx w ? A? B?? ? B? w ? ?w dx ?x 正在曲角三角形 A?B??B? 中,可得: ? ? tg? ? B??B? ? ?w dx ?x ?w ? ?x A?B?? dx ? ?u dx 1 ? ?u A o u B x u ? ?u dx ?x ? 正在分母中 ?u( ?x ?x ?x x)取1比拟是一个微量,故能够略去,因此 得出, ? ? ?w ?x 第二章 应变阐发 11 同理可得: 所以有剪应变: ? ? ?u ?z ? zx ? ?u ?z ? ?w ?x 同理可得别的两个剪应变 ? xy,? yz 。即有剪应变的表达 式(2-7) ? xy ? ?u ?y ? ?v ?x ? yz ? ?v ?z ? ?w ?y (2-7) 申明:剪应变的正负号 ? zx ? ?u ?z ? ?w ?x ? ij ? 0(i, j ? x, y, z)暗示夹角变小 ? ij ? 0(i, j ? x, y,


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